Desarrollan redes neuronales para resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

Los investigadores del Instituto de Tecnología de California (Caltech, Estados Unidos) han presentado una nueva técnica de aprendizaje profundo para resolver las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (PDE, por sus siglas en inglés) que es mucho más precisa que los métodos de aprendizaje profundo desarrollados anteriormente.

También es mucho más generalizable, capaz de resolver familias enteras de las PDE, como la ecuación de Navier-Stokes para cualquier tipo de fluido, sin necesidad de volver a entrenarse. Además, es 1,000 veces más rápida que las fórmulas matemáticas tradicionales, lo que reduciría nuestra dependencia de los superordenadores y aumentaría nuestra capacidad computacional para modelar otros problemas aún mayores.

Uso de las redes neuronales

Lo primero que hay que entender aquí es que las redes neuronales son básicamente aproximaciones de funciones. Cuando se entrenan en un conjunto de datos de entradas y salidas emparejadas, en realidad están calculando la función, o una serie de operaciones matemáticas, que transpondrán una a la otra.

Este proceso de aproximación de funciones es lo que necesitamos para resolver estas ecuaciones diferenciales. Al final se trata de encontrar una función que describa mejor, por ejemplo, el movimiento de las partículas de aire en el espacio físico y en el tiempo.

Es ahí donde está la clave del artículo. Las redes neuronales generalmente se entrenan para aproximar las funciones entre las entradas y salidas definidas en el espacio euclídeo, el gráfico clásico con ejes x, y, z. Pero esta vez, los investigadores decidieron definir las entradas y salidas en el espacio de Fourier, que es un tipo especial de gráfico para trazar frecuencias de onda.

Su idea, que se basó en el trabajo en otros campos, es que algo como el movimiento del aire en realidad puede describirse como una combinación de frecuencias de onda, explica la profesora de Caltech Anima Anandkumar, que supervisó la investigación junto con sus colegas, los profesores Andrew Stuart y Kaushik Bhattacharya. La dirección general del viento a nivel macro es como una baja frecuencia con olas muy largas y lentas, mientras que los pequeños remolinos que se forman en el nivel micro son como las frecuencias altas con olas muy cortas y rápidas.